EM算法-白红宇

期望极大算法(expectation maximization algorithm)，简称EM算法，是一种迭代算法，可以用于含义隐变量(hidden variable) 的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计. 期望极大算法(expectation maximization algorithm)，简称EM算法，是一种迭代算法，可以用于含义隐变量(hidden variable) 的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计.

延森不等式

在介绍EM算法之前，首先介绍一个重要的不等式——延森不等式(Jensen's Inequality)

令 $x_1< x_2$ , $f(x)$ 是一个凸函数，且如果它有二阶导数，其二阶导数恒大于等于0，那么有：

$tf(x_1) + (1-t)f(x) \ge f(tx_1+(1-t)x_2) \quad 0\le t\le1\tag{1}$

如果我们在此条件下，假设 $x$ 为随机变量，则有：

同理，当 $f(x)$ 为凹函数时，有：

$E[f(x)] \le f[E(x)] \tag{3}$

进一步，如果函数的二阶导数大于0，那么：

$\begin{align} E[f(x)] = f[E(x)] &\Leftrightarrow x为常量 \\ &\Leftrightarrow x = E(x) \end{align}\tag{4}$

EM算法

问题定义

假设训练集 $\{x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\}$ 是由 $m$ 个独立的无标记样本构成。我们有这个训练集的概率分布模型 $p(x,z;θ)$ ，但是我们只能观察到 $x$ 。我们需要使参数 $θ$ 的对数似然性最大化，即：

\begin{align} arg \max_\theta l(\theta) &= arg \max_\theta \sum_{i=1}^m \log P(x^{(i)};\theta) \\ &= arg \max_\theta \sum^m_{i=1} \log \sum_z P(x^{(i)},z^{(i)};\theta) \end{align} \tag{5}

形式化过程

具体来说，我们需要每次为函数 $\log P(x;\theta)$ 上的点 $\theta$ ，找到一个凹函数 $g(\theta) \le \log P(x;\theta)$ ，每次取 $g(\theta)$ 的最大值点为下一个 $\theta$ ，迭代直到目标函数 $logP(x;\theta)$ 达到局部最大值.

如下图所示：

推导

我们假设每一个 $z^{(i)}$ 的分布函数为 $Q_i$ ，所以有 $\sum_ZQ_i(z)=1, Q_i(z) \ge0$ ，有：

\begin{align} l(\theta) &= \sum_i\log\sum_{z^{(i)}}p(x^{(i)},z^{(i)};\theta) \\ &= \sum_i \log \sum_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})} \\ &\ge \sum_i \sum_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})} \end{align} \tag{6}

我们知道 $\log$ 是一个凹函数，如果把 $Q_i(z^{(i)})$ 看作随机变量， $\sum_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)}) \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})}$ 看作随机变量的概率分布函数 $\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})}$ 的期望，则由延森不等式(3)可得到上述不等式.

这样以来， $\theta$ 的对数似然函数 $l(\theta)$ 便有了一个下界，但我们希望得到一个更加紧密的下界，也就是使等号成立的情况. 那么有：

\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})} = c \quad(c为常数) \tag{7}

则：

Q_i(z^{(i)}) = c*p(x^{(i)},z^{(i)};\theta) \tag{8}

又 $\sum_ZQ_i(z)=1, Q_i(z) \ge0$ ，所以：

\sum_ZQ_i(z^{(i)})= \sum_Z c*p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)=1 \tag{9}

所以：

c = \frac{1}{\sum_Z p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)} \tag{10}

那么再由式(8)，有：

\begin{align} Q_i(z^{(i)}) &= \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{\sum_Z p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}\\ & = \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{p(x^{(i)};\theta)} \\ &= p(z^{(i)}| x^{(i)};\theta) \end{align} \tag{11}

算法流程

repeat

(E step) for each i

$Q_i(z^{(i)}) := p(z^{(i)}| x^{(i)};\theta)$

end for

(M step)

$\theta := arg\max_\theta\sum_i \sum_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})\log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i(z^{(i)})}$

until 似然函数达到最大值

参考资料

[1] danerer-CSDN. Andrew Ng机器学习课程笔记（十三）之无监督学习之EM算法[EB/OL] , https://blog.csdn.net/danerer/article/details/80282612#expectation-maximization-algorithm, 2018-5-11/2018-7-30.

[2] 维基百科. Jensen's inequality[DB/OL], https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality, 2018-06-06/2018-7-30.